Дневник лекций 2013 года

12-Feb-2013

Напоминание изученного на первом курсе: ИВ, языки первого порядка, модели, ИП.

19-Feb-2013

Теорема Геделя о полноте (слабая и сильная формы). Доказательство для счетных сигнатур.

26 февраля

Окончание доказательства теоремы о полноте. Теории с равенством, нормальные модели и теорема Геделя о полноте для теорий с равенством.

Наивная теория множеств Кантора и парадокс Рассела.

Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля. Все аксиомы, кроме аксиомы бесконечности.

5 марта

Построение модели всех аксиом, кроме аксиомы бесконечности.

Упорядоченная пара по Куратовскому. Отношения и функции.

Аксиома бесконечности. Определение натурального числа и существование множества натуральных чисел. Проверка аксиом Пеано.

12 марта

Рекурсивные определения. Сложение и умножение на натуральных числах.

Кратко о целых, рациональных и действительных числах.

Ординалы. Натуральные числа являются ординалами.

19 марта

Лемма о наименьшем ординале. Теорема о сравнимости любых двух ординалов. Вполне упорядоченность любого ординала отношением принадлежности.

Последователи и предельные ординалы.
Разные мелкие факты об ординалах: \alpha<\beta тогда и только тогда, когда \alpha<\beta собственное подмножество \beta, S\alpha есть непосредственно следующий за \alpha ординал. Множество натуральных чисел есть наименьший предельный ординал. Объединение любого множества ординалов есть наименьший ординал, больший или равный всех его элементов. Несуществование множества всех ординалов.

Трансфинитная индукция и рекурсия для вполне упорядоченных множеств.

Каждое вполне упорядоченое множество измоморфно некоторому ординалу.

26 марта

Аксиома выбора. Лемма Цорна и теорема Цермело и их вывод из аксиомы выбора.
Мощности. Операции над мощностями и ординалами (без подробных определений).

2 апреля

Представление натуральных чисел и конечных последовательностей натуральных чисел, и их функций в ZF

Первая теорема Геделя о неполноте и ее доказательство.

9 апреля

Вторая теорема Геделя о неполноте и ее доказательство.

Аксиомы Бернайса и вторая теорема о неполноте для произвольных теорий.

16 апреля

Аксимомы формальной арифметики Пеано PA

Выводы таблицы сложения и умножения

Выводы свойств сложения, умножения и порядка.

Бэта-функция Геделя и доказательство ее основного свойства (в мета-теории)

23 апреля

Принцип полной математической индукции и принцип наименьшего числа

Вывод в PA существования и единственности остатка.

Принцип свёртывания и его доказательство в PA.

30 апреля

Финитные доказательства и тезис арифметичности

Вторая теорема Гёделя о неполноте для PA.

Аксиоматизация элементарной теории целых чисел с операцией добавления единицы.

7 мая

Аксиоматизация упорядоченного множества действительных чисел.

Аксиоматизация поля комплексных чисел.

14 мая

Аксиоматизация упорядоченного поля действительных чисел