Дневник лекций 2011 года
9-Feb-2011
Напоминание: языки первого порядка (сигнатуры, модели, термы и формулы), теории, модели теорий, исчисление предикатов, теорема Геделя о полноте ИП.
Список аксиом для целых чисел с операцией добавления единицы, упорядоченного множества рациональных чисел, поля комплексных чисел.
16-Feb-2011
Элиминация кванторов для целых чисел с операцией добавления единицы. Доказательство полноты теории и её разрешимости. То же самое для упорядоченного множества рациональных чисел.
Аксиоматизация упорядоченного множества целых чисел. Элиминация кванторов для формул сигнатуры, расширенной добавлением функций $x+1,x-1$. Доказательство полноты теории и её разрешимости.
2-Mar-2011
Элиминация кванторов в теории алгебраически замкнутых полей.
Аксиоматизация элементарной теории поля комплексных чисел и её разрешимость.
9-Mar-2011
Элиминация кванторов в теории вещественно замкнутых полей.
Разрешимость и аксиоматизация упорядоченного поля действительных чисел.
Арифметика Пеано: аксиомы и доказательтство коммутитивности сложения.
16-Mar-2011
Доказательство основных свойств сложения и умножения (в виде упражнений).
Определение порядка и доказательство его свойств (в виде упражнений).
Финитные доказательства в теории множеств и тезис арифметичности.
Бета функция Геделя и доказательство ее свойств (в теории множеств).
23-Mar-2011
Доказательство свойств функции Геделя в арифметике (принцип свёртывания и сущестование и единственность остатка). Тезис арифметичности.
Формулировка первой и второй теорем Гёделя о неполноте (обычная и финитно доказуемая). Принцип отражения.
30-Mar-2011
Доказательство принципа отражения (еще раз).
Доказательство первой и второй теоремы Гёделя о неполноте.
Теоремы Бернайса и вывод второй теоремы о неполноте из теорем Бернайса.
6-Apr-2011
Наивная теория множеств Кантора и парадоксы в ней.
Аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля.
Определение пары по Куратовскому и проверка основного свойства пары.
Существование объединения, пересечения, разности и декартова произведения.
Отношения и функции.
13-Apr-2011
Определение ординалов.
Лемма о минимальном ординале.
Лемма о сравнимости любых двух ординалов.
Свойства порядка на ординалах. Существование ординала, большего всех ординалов из данного множества.
Определение натурального числа. Проверка аксиом Пеано.
20-Apr-2011
Существование множества натуральных чисел — наименьшего предельного ординала.
Трансфинитная индукция.
Определения по трансфинитной индукции (трансфинитная рекурсия).
Построение изоморфизма между данным вполне упорядоченным множеством и некоторым ординалом.
27-Apr-2011
Аксиома выбора. Теорема Цермело и ее доказательство в ZFC.
Лемма Цорна и ее доказательство в ZFC.
Кардиналы и определение мощности множества.
Теорема Кантора-Бернштейна. Лемма о сравнении двух множеств (мощность А меньше мощности В тогда и только тогда, когда А равномощно подмножеству В).
Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств.
Кардинал, следующий за данным.
4-May-2011
Любой кардинал, не являющийся натуральным числом, пределен.
Любые два разных натуральных числа не равномощны и любое
натуральное число не равномощно ни одному из предельных кардиналов.
Сложение, умножение и возведение в степень на кардиналах.
Согласованность этих операций с обычными операциями на натуральных числах.
Сумма и произведение кардиналов равно максимальному из них, если хотя бы один из кардиналов бесконечен.
Операции на ординалах (сумма, произведение и возведение в степень).
11-May-2011
Применение ординалов: доказательство континуальности семейства борелевских множеств (борелевскими множествами называются множества действительных числел, принадлежащие наименьшей сигма-алгебре, содержащей все интервалы).
Первая теорема Гёделя о неполноте для ZF: если ZF непротивеоречива, то ZF неполна. Вторая теорема о неполноте для ZF: если ZF непротивеоречива, в ZF невыводимо ConZF.
Начало доказательства теоремы Гёделя о полноте: общий план и лемма Линденбаума для счетных сигнатур.
18-May-2011
Доказательство теоремы Гёделя о полноте (завершение)