Аксиоматический метод (ОТиПЛ)

• Неформальный аксиоматический метод
  Эмпирический и аксиоматический способы формирования понятий.
  Понятия. Аксиомы. Логический вывод. Теоремы.

• Дедуктивное построение геометрии
  Аксиомы Евклида. Аксиомы Гильберта.

• Проблема соотношения реального физического мира и его математических моделей
  Космологические гипотезы и их отражение в моделях геометрии. Проблема числа измерений в физике и математике.

• Интерпретации и модели системы аксиом
  Совместность и непротиворечивость системы аксиом.
  Понятие математической структуры. Изоморфия и эквивалентность математических структур.
  Категоричность и полнота системы аксиом.

• Геометрическое устройство реального мира
  Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского. Является ли реальный мир евклидовым?

• Аксиоматическое определение понятия натурального числа
  Элементарная аксиоматика натурального ряда. Её стандартная модель и нестандартные модели. Аксиоматика Пеано и её категоричность.

• Использование аксиоматического метода в современной математике
  Понятия упорядоченного множества, метрического пространства, топологического пространства. Алгебраические структуры.

• Аксиоматическое определение понятия действительного числа
  Аксиомы линейно упорядоченного поля. Формулировки принципа непрерывности: аксиома Вейерштрасса, аксиома Дедекинда, аксиома Кантора.

• Аксиома Архимеда
  Неархимедово пространство в физике и математике.

• Нестандартный математический анализ
  Актуальные бесконечно малые и бесконечно большие величины в трактовке Лейбница и Эйлера и в современном понимании. Множественность математических моделей реального физического мира.

• Гносеологические возможности формального аксиоматического метода
  Формализация арифметики и теорема Гёделя о неполноте. Формализация теории множеств и неразрешимость проблемы континуума.

Основная литература

[1] Гастев Ю. А. Содержательная и формальная математика. // О некоторых вопросах современной математики и кибернетики. М.: Просвещение, 1965. С. 198-229.

[2] Кутузов Б. В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. М.: Учпедгиз, 1950. [Главы V-VIII.] [3] Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968. [Глава III.] [4] Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. [Главы VI-X.]

Программу составил В. А. Успенский.