Дневник лекций 2015 года
13 февраля 2015
Напоминание изученного на втором курсе.
Семантический подход: сигнатуры, структуры, нормальные структуры, формулы, теории их модели, совместные и семантически полные теории. Пример с аксиоматизацией целых чисел с отношением «быть следующим».
Дедуктивный подход: аксиомы и правила вывода исчисления предикатов (ИП). Понятие вывода и теоремы теории. Непротиворечивость и полнота теории.
20 февраля 2015
Теорема о корректности исчисления предикатов.
Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов (без аксиом равенства): сильная и слабая формы. Вывод теоремы Гёделя из теоремы о существовании модели непротиворечивой теории.
Лемма о дедукции.
Общий план доказательства (включая определение экзистенциально полной теории). Доказательство леммы Линденбаума о расширении непротиворечивой теории до полной теории.
27 февраля 2015
Доказательство теоремы Гёделя о полноте.
Теории с равенством и теорема Гёделя о полноте для теорий с равенством и нормальных моделей.
6 марта 2015
Теорема компактности Мальцева. Теорема Лёвенгейма-Скулема.
Аксиомы теории множеств ZF (без аксиомы бесконечности). Существование пересечения, объединения и разности.
Сокращения для пустого множества, пересечения, объединения и разности, включения и множества всех подмножеств.
13 марта 2015
Упорядоченные пары по Куратовскому. Отношения и функции, существование области определения и множества значений. Определение функций с помощью формул.
Индуктивные множества. Аксиома бесконечности. Натуральные числа как множества, принадлежащие всем индуктивным множествам. Принцип индукции Пеано.
Ординалы и их сравнение. Иррефлексивность и транзитивность порядка. Существование минимального ординала с данным свойством. Сравнимость любых двух ординалов. Последователи и предельные ординалы.
20 марта 2015
Существование предельных ординалов. Наименьший предельный ординал совпадает с наименьшим по включению индуктивным множеством.
Для любого множества ординалов существует ординал, больший всех элементов этого множества.
Натуральные числа, как элементы наименьшего предельного ординала. Проверка аксиом Пеано. Рекурсивное определение сложения натуральных чисел.
27 марта 2015
Определения функции с данной областью определения с помощью формулы. Функционалы. Сужение функционала и функции на данное множество.
Трансфинитная индукция.
Общая схема рекурсивных определений. Теорема о рекурсивных определениях функций на натуральных числах.
Трансфинитная рекурсия. Теорема о трансфинтной рекурсии для произвольного вполне упорядоченного множества. Теорема об определениях функционалов на ординалах трансфинтной рекурсией.
3 апреля 2015
Теорема Цермело и лемма Цорна.
Сложение и умножение ординалов. Кардиналы. Сложение и умножение кардиналов.
Теорема о том, что удвоение и возведение в квадрат бесконечного кардинала не изменяет его мощности.
10 апреля 2015
Имена для натуральных чисел, конечных последовательностей натуральных чисел и формул языка ZF.
Представимость предикатов и функций на натуральных числах и конечных последовательностях
натуральных чисел.
Формулировка первой и второй теорем Гёделя о неполноте ZF. Принцип отражения. (Всё это без доказательства.)
17 апреля 2015
Представление предиката доказуемости и формула Con_ZF.
Доказательство принципа отражения. Доказательство второй теоремы о неполноте ZF. Аксиомы Бернайса.
Доказательство первой теоремы о неполноте в форме Россера.
24 апреля 2015
Независимость аксиомы выбора и континуум гипотезы.
Арифметика Пеано PA. Основные доказуемые факты об арифметики натуральных чисел и порядке.
Сугубо финитные, финитные доказательства и нефинитные доказательства. Тезис арифметичности.
Бета функция Геделя и доказательство в ZF ее основного свойства.
8 мая 2015
Доказательство существования и единственности остатка и принципа свертывания.
Формулировка и доказательство первой теоремы Гёделя о неполноте для PA (существует истинная недоказуемая формула) и второй теоремы о неполноте для PA.
15 мая 2015
Элиминация кванторов в элементарной теории поля комплексных чисел. Разрешимость и аксиоматизация этой теории
22 мая 2015
Элиминация кванторов в элементарной теории упорядоченного поля действительных чисел (теорема Зайденберга-Тарского). Разрешимость и аксиоматизация этой теории.