Геометрия и топология (ОТиПЛ)

Элементы аналитической геометрии

Декартовы системы координат на плоскости и в пространстве.

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве.

Преобразование координат.

Эллипс, парабола, гипербола.

Привидение квадратичной формы к нормальному виду. Классификация кривых второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка.

Векторы. Скалярное произведение векторов.

Правые и левые тройки векторов. Векторное произведение. Смешанное произведение.

Движения плоскости

Инварианты группы движений как предмет геометрии.

Простейшие свойства движений плоскости.

Теоремы о композиции движений: композиция двух параллельных переносов, композиция двух центральных симметрий, композиция центральной симметрии и параллельного переноса, композиция двух поворотов.

Теорема Шаля о классификации движений плоскости.

Ориентация плоскости, сохранение и изменение ориентации плоскости при движении.

Неподвижные точки и неподвижные прямые движения.

Преобразования подобия плоскости

Определение подобия плоскости. Простейшие свойства подобия.

Гомотетия. Теорема о разложении подобия в композицию гомотетии и движения.

Поворотная гомотетия.

Графы

Ориентированные и неориентированные графы. Деревья, корневые деревья. Связь числа вершин и числа ребер в дереве. Степень вершины в графе. Теорема о сумме степеней вершин. Изоморфизм графов.

Связные компоненты графа. Задача о кенигсбергских мостах. Эйлеровы циклы. Критерий эйлеровости графа.

Гамильтонов цикл. Взвешенный граф. Длина пути во взвешенном графе. Задача о коммивояжере.

Хроматическое число графа. Задача о четырех красках.

Двудольные графы. Критерий Кенига двудольности графа. Задача о паросочетании.

Трёхмерные и плоские реализации графа. Критерий Понтрягина-Куратовского существования плоской реализации графа.

Эйлерова характеристика графа.

Топология

Открытые и замкнутые множества точек на прямой и плоскости. Простейшие свойства открытых и замкнутых множеств.

Непрерывные отображения. Понятие гомеоморфизма.

Вполне ограниченные множества. Критерий полной ограниченности.

Компактные множества на прямой и плоскости. Критерий компактности.

Фракталы

Метрическая размерность. Вычисление метрической размерности для конечного множества точек, отрезка, квадрата, куба.

Геометрические фигуры, имеющие дробную метрическую размерность. Вычисление метрической размерности совершенного канторова множества.

Самоподобные геометрические фигуры. Использование самоподобия для вычисления размерности. Снежинка Коха. Кривая дракона. «Ветвящиеся» фракталы.

Фракталы в природе. Парадокс длины береговой линии.

Множество Мандельброта.

Основная литература

[1] Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. [С. 11-98, 122-145, 281-316 324-325, 474-488, 512-517, 643-655.] М.: Наука, 1990.

[2] Александров А. Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987. [С. 113-119, 154-159, 178-180.] [3] Белов В. В., Воробьев В.М., Шаталов В. Е. Теория графов. М.: Высшая школа, 1976. [С. 9-17, 59-75, 112-138, 143-155, 159-171, 194-199.] [4] Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. М.: Мир, 1993. [С. 47-68.] [5] Зорич В. А. Математический анализ. Часть 2. М.: Наука, 1984. [С. 11-28.] [6] Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. Избранные задачи по вещественному анализу. М.: Мир, 1993. [С. 12-13, 129-130.] [7] Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980. [С. 11-12, 34-36, 77-78, 134-137, 147-150.] [8] Пайнтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. [С. 17-25, 141-142.] [9] Яглом И. М. Геометрические преобразования. Т. 1. М.: Гостехиздат, 1955. [С. 12-115.]

Дополнительная литература

[10] Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия 8-9. М.: Просвещение, 1991. [С. 289-367, 394-406.] [11] Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968.

[12] Кокстер Т. C. М., Грейтцер C. Л. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978. [С. 100-108.] [13] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1972. [С. 44-68.] [14] Погорелов А. В. Геометрия 6-10. М.: Просвещение, 1987.

[15] Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. М.: Издательство Московского университета, 1992. [С. 195-198.] [16] Barnsley M. F. Fractals everywhere. Academic Press, Boston, 2nd edition 1993.

[17] Peintgen H.-O., Saupe D., Barnsley M. F. The science of fractal images. Springer-Verlag, New York, 1988.

Программу составил А. Е. Ромащенко.